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APPLICATION A LA DERIVATION
(1erS)
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I - Symétrie d'une fonction
- Axe de symétrie
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La courbe d'une fonction f notée C admet un axe de symétrie d'équation x = a si et seulement si : f(2a-x) = f(x)
Remarque : si a = 0, on a : f(x) = f(-x).
La fonction f est alors une fonction paire et son axe de symétrie est l'axe des ordonnée.
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- Centre de symétrie
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La courbe d'une fonction f notée C admet un centre de symétrie au point Ω( a, b ) si et seulement si :
f(2a-x) + f(x) = 2b
Remarque : si a = 0 et b = 0, on a : f(x) = - f(-x).
La fonction f est alors une fonction impaire et son centre de symétrie est l'origine O( 0, 0 ).
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II - Variation d'une fonction
- Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction, il faut toujours appliquer la même méthode :
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Fonction → Ensemble de définition → Calcul de la dérivée → Factorisation de la dérivée en produit de facteur → Tableau de signe → Variation.
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- Théorème
Soit f une fonction dérivable et f ' sa dérivée sur un intervalle noté I. On a :
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▪ si f '(x) > 0 sur I, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
▪ si f '(x) ≥ 0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I.
▪ si f '(x) < 0 sur I, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
▪ si f '(x) ≤ 0 sur I, alors la fonction f est décroissante sur I.
▪ si f '(x) = 0 sur I, alors la fonction f est constante sur I.
Remarque : La réciproque est vraie.
Si la fonction f est strictement croissante sur I alors f ' (x) > 0....etc.
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III - Extremum, majorant et minorant d'une fonction
- Définition
Prenons une fonction f dérivable sur I et dont la dérivée est notée f '.
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Si la dérivée f ' s'annule en changeant de signe tel que : f '(a) = 0 alors la fonction f admet un extremum local en x = a.
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- Maximum, minimum
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Si la fonction f admet un extremum en x = a sur un intervalle I, alors :
▪ f (a) est appelé maximum si f (a) > f (x).
▪ f (a) est appelé minimum si f (a) < f (x).
Remarque :
Une fonction peut avoir plusieurs maximum et minimum.
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- Majorant, minorant
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▪ M est un majorant de f si et seulement si f (x) ≤ M.
▪ m est un minorant de f si et seulement si f (x) ≥ m.
Remarque :
M et m ne sont pas nécessairement des points de la fonction f. Ils peuvent être au dessus ou au dessous de la courbe C de la fonction f.
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