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Brevet des collèges

Sciences Physiques

SVT

Limites de suites - convergence, divergence

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LIMITES DE SUITES (1^erS)

I - Suite bornée

- Suite majorée

On dit qu'une suite $U_{{n}}$ est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que:

$n\foralln\in\mathbb{N}, U_{n} \leq M$

- Suite minorée

On dit qu'une suite $U_{{n}}$ est minorée si et seulement si il existe un réel M tel que:

$n\foralln\in\mathbb{N},U_{n} \geq M$

- Suite bornée

On dit qu'une suite U_{{n}} est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.

II - Convergence et divergence de suites

- Suite convergente

La suite U_{{n}} est dite convergente si il existe un réel noté L vers lequel tend la suite en $+ \infty$ .

On écrit alors : $\lim_{n \to + \infty} U_{n}= L , (L \in \mathbb{R})$

- Suite divergente

La suite U_{{n}} est dite divergente si elle :

▪ n'a pas de limite.

▪ a une limite infinie.

III - Théorème sur les limites d'une suite

- Quelques limites de suites

Théorème 1 :

pour tout entier naturel p, on a :

▪ $\lim_{n \to + \infty} n^p= + \infty$

▪ $\lim_{n \to + \infty} \frac { 1} {n^p}= 0$

Théorème 2 : limite de suites arithmétiques

pour tout entier naturel p, on a :

▪ $\text {si }r>0, \text {alors }\lim_{n \to + \infty} U_{n}= + \infty$

▪ $\text {si }r<0, \text {alors }\lim_{n \to + \infty} U_{n}= - \infty$

Théorème 3 : limite de suites géométriques

Soit q un réel non nul :

▪ $\text {Si } q>1, \text {alors} \lim_{n \to + \infty} q^n= + \infty$

▪ $\text {Si } q=1, \text {alors} \lim_{n \to + \infty} q^n= 1$

▪ $\text {Si } -1<q<1, \text {alors} \lim_{n \to + \infty} q^n= 0$

▪ $\text {Si } q\leq-1, \text {alors la suite } (q^n) \text { est divergente}$

- Opérations sur les limites

Si U_n a pour limite	L	L	L	+ ∞	- ∞	+ ∞
Si V_n a pour limite	L'	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	- ∞
Alors (U_n + V_n) a pour limite	L + L'	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	?

Si U_n a pour limite	L	L>0	L>0	L<0	L<0	+ ∞	+ ∞	0	0
Si V_n a pour limite	L'	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞
Alors U_n x V_n a pour limite	L * L'	+ ∞	- ∞	- ∞	+ ∞	+ ∞	- ∞	?	?

Si U_n a pour limite	L	L	L	+ ∞	+ ∞	- ∞	- ∞	+ ou - ∞
Si V_n a pour limite	L'	+ ∞	- ∞	L'<0	L'>0	L'>0	L'<0	+ ou - ∞
Alors U_n / V_n a pour limite	L / L'	0⁺	0^-	- ∞	+ ∞	- ∞	+ ∞	?

- Comparaison de suites

Théorème 1 :

Soit $U_{n}$ une suite telle que : $\lim_{n \to + \infty} U_{n}= + \infty$

Si la suite $V_{n}$ est telle que, à partir d'un certain rang,

$V_{n}>U_{n}$ alors : $\lim_{n \to + \infty} V_{n}= + \infty$

Théorème 2 :

Soit $U_{n}$ une suite telle que : $\lim_{n \to + \infty} U_{n}= - \infty$

Si la suite $V_{n}$ est telle que, à partir d'un certain rang,

$V_{n}<U_{n}$ alors : $\lim_{n \to + \infty} V_{n}= - \infty$

Théorème des gendarmes :

Soit $U_{n}$ et $V_{n}$ deux suites convergentes et ayant la même limite L

Si la suite $W_{n}$ est telle que, à partir d'un certain rang,

$U_{n}<W_{n}<V_{n}$ alors : $\lim_{n \to + \infty} W_{n}= L$

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