LES SUITES NUMERIQUES (1^erS)

I - Généralités

- Définition

On appelle suite numérique toute application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$

A tout entier naturel n, on associe (Un) appelée terme général de la suite et n l'indice de la suite (Un).

Par récurrence, on détermine un terme de la suite en fonction de celui ou de ceux qui le précèdent

- Variation

Méthode 1 :

▪ la suite (Un) est croissante si et seulement si: $n\foralln\in\mathbb{N}, U_{n}\leq U_{\text{n+1}}$

▪ la suite (Un) est décroissante si et seulement si: $n\foralln\in\mathbb{N}, U_{n}\geq U_{\text{n+1}}$

▪ la suite (Un) est constante si et seulement si: $n\foralln\in\mathbb{N}, U_{n}= k (k\in\mathbb{R})$

▪ une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante ou constante.

Méthode 2 :

▪ la suite (Un) est croissante si et seulement si: $n\foralln\in\mathbb{N}, \frac{U_{n+1}}{U_{n}}\leq 1$

▪ la suite (Un) est décroissante si et seulement si: $n\foralln\in\mathbb{N}, \frac{U_{n+1}}{U_{n}}\geq 1$

▪ la suite (Un) est constante si et seulement si: $n\foralln\in\mathbb{N}, \frac{U_{n+1}}{U_{n}}= 1$

▪ une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante ou constante.

Méthode 3 :

On peut dans le cas où Un = f(n) utiliser le sens de variation de f sur $[0;+\infty [$

II - Suites arithmétiques

- Définition

La suite (Un) est une suite arithmétique si et seulement si chacun de ses termes se déduit du précédent en lui ajoutant une constante r appelée raison de la suite.

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N},$ $U_{\text{n+1}} = U_{n} + r$

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N},$ $U_{n} = U_{0} + n.r$

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N}$ et $\forall p\foralln\in\mathbb{N},$ $U_{n} = U_{p} + (n - p).r$

- Variation

▪ si $r > 0$ , alors la suite (Un) est croissante.

▪ si $r < 0$ , alors la suite (Un) est croissante.

▪ si $r = 0$ , alors la suite (Un) est constante.

- Somme

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N},$ $S_{n} = U_{0} + U_{1} + ... + U_{n}$

$S_{n} = \frac{ \left\textit{(nb termes}\right).\left(1^{er}terme + \textit{dernier terme}\right)} {2} = \frac{ \left(n+1\right).\left(U_{0} + U_{n}\right)} {2}$

III - Suites géométriques

- Définition

La suite (Un) est une suite géométrique si et seulement si chacun de ses termes se déduit du précédent en le multipliant par une constante q non nulle appelée raison de la suite.

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N},$ $U_{\text{n+1}} = U_{n} \times q$

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N},$ $U_{n} = U_{0} \times q^n$

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N}$ et $\forall p\foralln\in\mathbb{N},$ $U_{n} = U_{p} \times q^{n-p}$

- Variation

▪ une suite géométrique est strictement croissante si et seulement si :

$(q > 1 \textit{et U}_{0} > 0)\textbf{ ou } (0< q<1 \textit{et U}_{0} < 0)$

▪ une suite géométrique est strictement décroissante si et seulement si :

$(q > 1 \textit{et U}_{0} < 0)\textbf{ ou } (0< q<1 \textit{et U}_{0} > 0)$

- Somme

▪ $\forall n\foralln\in\mathbb{N},$ $S_{n} = U_{0} + U_{1} + ... + U_{n}$

$S_{n} = \frac{ \left{1^{er}terme}\right.\left(1 - q^{\textit{nb termes}\right)} }{(1-q)} =Â \frac{ \left{U_0}\right.\left(1 - q^{\textit{n+1}\right)} }{(1-q)}$