LES SUITES NUMERIQUES (T°S)

I - Rappels sur les suites

- Suites arithmétiques

La suite (Un) est une suite arithmétique si et seulement si chacun de ses termes se déduit du précédent en lui ajoutant une constante r appelée raison de la suite.

Propriétés :

▪ pour tout n, $U_{\text{n+1}} = U_{n} + r$

▪ pour tout n, $U_{n} = U_{0} + n.r$

▪ pour tout n et pour tout p, $U_{n} = U_{p} + (n - p).r$

▪ une suite arithmétiques est croissante si et seulement si sa raison r est positive.

▪ pour tout n, $S_{n} = U_{0} + U_{1} + ... + U_{n}$

$S_{n} = \frac{ \left\textit{(nb termes}\right).\left(1^{er}terme + \textit{dernier terme}\right)} {2} = \frac{ \left(n+1\right).\left(U_{0} + U_{n}\right)} {2}$

- Suites géométriques

La suite (Un) est une suite géométrique si et seulement si chacun de ses termes se déduit du précédent en le multipliant par une constante q non nulle appelée raison de la suite.

Propriétés :

▪ pour tout n, $U_{\text{n+1}} = U_{n} \times q$

▪ pour tout n, $U_{n} = U_{0} \times q^n$

▪ pour tout n et pour tout p, $U_{n} = U_{p} \times q^{n-p}$

▪ une suite géométrique est strictement croissante si et seulement si :

$(q > 1 \textit{et U}_{0} > 0)\textbf{ ou } (0< q<1 \textit{et U}_{0} < 0)$

▪ une suite géométrique est strictement décroissante si et seulement si :

$(q > 1 \textit{et U}_{0} < 0)\textbf{ ou } (0< q<1 \textit{et U}_{0} > 0)$

▪ pour tout n, $S_{n} = U_{0} + U_{1} + ... + U_{n}$

$S_{n} = \frac{ \left{1^{er}terme}\right.\left(1 - q^{\textit{nb termes}\right)} }{(1-q)} =Â \frac{ \left{U_0}\right.\left(1 - q^{\textit{n+1}\right)} }{(1-q)}$

- Suite majorée, minorée, bornée

Suite majorée :

On dit qu'une suite $U_{{n}}$ est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que: $n\foralln\in\mathbb{N}, U_{n} \leq M$

Suite minorée :

On dit qu'une suite $U_{{n}}$ est minorée si et seulement si il existe un réel M tel que: $n\foralln\in\mathbb{N},U_{n} \geq M$

Suite bornée :

On dit qu'une suite $U_{{n}}$ est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.

II - Convergence et divergence de suites

- Suite convergente

La suite $U_{n}$ est dite convergente si il existe un réel noté $L$ vers lequel tend la suite en $+ \infty$ .

On écrit alors : $\lim_{n \to + \infty} U_{n}= L , (L \in \mathbb{R})$

- Suite divergente

La suite $U_{n}$ est dite divergente si elle :

▪ n'a pas de limite.

▪ a une limite infinie.

III - Théorème sur les limites d'une suite

- Quelques limites de suites

Théorème 1 :

pour tout entier naturel p, on a :

▪ $\lim_{n \to + \infty} n^p= + \infty$

▪ $\lim_{n \to + \infty} \frac { 1} {n^p}= 0$

Théorème 2 :

Soit q un réel non nul :

▪ Si $q>1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} q^n= + \infty$

▪ Si $-1<q<1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} q^n= 0$

▪ Si $q<1$ , alors la suite ( $q^n$ ) est divergente

- Opérations sur les limites

Si U_n a pour limite	L	L	L	+ ∞	- ∞	+ ∞
Si V_n a pour limite	L'	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	- ∞
Alors (U_n + V_n) a pour limite	L + L'	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	?

Si U_n a pour limite	L	L>0	L>0	L<0	L<0	+ ∞	+ ∞	0	0
Si V_n a pour limite	L'	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞	+ ∞	- ∞
Alors U_n x V_n a pour limite	L * L'	+ ∞	- ∞	- ∞	+ ∞	+ ∞	- ∞	?	?

Si U_n a pour limite	L	L	L	+ ∞	+ ∞	- ∞	- ∞	+ ou - ∞
Si V_n a pour limite	L'	+ ∞	- ∞	L'<0	L'>0	L'>0	L'<0	+ ou - ∞
Alors U_n / V_n a pour limite	L / L'	0⁺	0^-	- ∞	+ ∞	- ∞	+ ∞	?